题目内容
若双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的下焦点是F，点A，B分别是双曲线的两个虚轴端点，且向量
与
的夹角θ的余弦值cosθ=
，则该双曲线一条渐近线的倾斜角为（ ）
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
| FA |
| FB |
| 1 |
| 3 |
| A、30° | B、60° |
| C、90° | D、135° |
考点：双曲线的简单性质
专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设出双曲线的下焦点和虚轴的端点，由向量的坐标和数量积及模的公式，结合向量夹角公式，计算可得c2=2b2，再由a，b，c的关系和渐近线方程，可得斜率和倾斜角．
解答：
解：设双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的下焦点是F（0，-c），
A（-b，0），B（b，0），
即有
=（-b，c），
=（b，c），
•
=c2-b2，|
|=|
|=
，
即有cosθ=
=
=
，
即为c2=2b2，
则a2=c2-b2=b2，即a=b，
即有双曲线的渐近线方程为y=±x，
则渐近线的斜率为±1，
倾斜角分别为45°，135°．
故选：D．
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
A（-b，0），B（b，0），
即有
| FA |
| FB |
| FA |
| FB |
| FA |
| FB |
| b2+c2 |
即有cosθ=
| ||||
|
|
| c2-b2 |
| c2+b2 |
| 1 |
| 3 |
即为c2=2b2，
则a2=c2-b2=b2，即a=b，
即有双曲线的渐近线方程为y=±x，
则渐近线的斜率为±1，
倾斜角分别为45°，135°．
故选：D．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，同时考查向量的数量积的坐标表示和向量的模以及向量的夹角，考查运算化简能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A、15° | B、22.5° |
| C、37.5° | D、67.5° |