Question

设函数f（x）的定义域为实数集R，且f（x+2）=f（x+1）-f（x），若f（4）=-2，则函数g（x）=e^x+

2f(2011)

ex+1

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：先根据条件判断函数f（x）为周期函数，求出f（2011）的值，再根据基本不等式求出最值．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x+1）-f（x）①
令x=x-1，
∴f（x）=f（x+1）+f（x-1）②
把②式代入①式：f（x+2）=f（x+1）-f（x+1）-f（x-1）=-f（x-1）
令x=x+1
f（x）=-f（x+3）
令x=x+3
f（x+3）=-f（x+6）
即f（x）=f（x+6），
∴函数为以6为周期的周期函数，
∴f（2011）=f（1+335×6）=f（1）=-f（4）=2，
∴g（x）=e^x+

4

ex+1

=e^x+1+

4

ex+1

-1≥2

4

-1=3，当且仅当x=0是取等号，
故g（x）=e^x+

2f(2011)

ex+1

的最小值是3．
故答案为：3

点评：本题主要考查了函数的周期性和基本不等式的应用，关键求出函数f（x）为周期函数，属于中档题．