Question

12．已知函数f（x）=|x-2|+|x+4|，g（x）=x²+4x+3．
（1）求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若f（x）≥|1-5a|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过x与-4以及2的大小比较，去掉绝对值符号，化简不等式，然后求解即可．
（2）利用绝对值的几何意义，求出函数的最小值，然后化简不等式求解a的范围即可．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-2|+|x+4|，g（x）=x²+4x+3，
不等式f（x）≥g（x）即：|x-2|+|x+4|≥x²+4x+3，
①当x＜-4时，不等式化为：-（x-2）-（x+4）≥x²+4x+3，
解得：-5≤x≤-1，∴-5≤x＜-4；
②当-4≤x≤2时，不等式化为：-（x-2）+（x+4）≥x²+4x+3，
解得：-2-$\sqrt{7}$≤x≤-2+$\sqrt{7}$，
∴-4≤x$≤-2+\sqrt{7}$；
③当x＞2时，不等式化为：（x-2）+（x+4）≥x²+4x+3，
解得：x∈∅，
综上：不等式的解集为：{x|-5≤x$≤-2+\sqrt{7}$}；
（2）因为|x-2|+|x+4|≥|x-2-x-4|=6，
f（x）≥|1-5a|恒成立，
所以6≥|1-5a|，即-6≤1-5a≤6，解得-1$≤a≤\frac{7}{5}$，
所以实数a的取值范围[-1，$\frac{7}{5}$]．

点评 本题考查函数恒成立，不等式的解法，考查化简以及计算能力．