题目内容

7．若f（x）是定义在R上的函数，且满足：①f（x）是偶函数；②f（x+2）是偶函数；③当0＜x≤2时，f（x）=log2017x，当x=0时，f（0）=0，则方程f（x）=-2017在区间（1，10）内的多有实数根之和为（　　）
A．0B．10C．12D．24

分析 利用对称性和周期性作出f（x）的函数图象，根据对称性得出零点之和．

解答 解：∵f（x+2）是偶函数，
∴f（x+2）=f（-x+2），
∴f（x）的图象关于直线x=2对称，
又f（x）是偶函数，
∴f（x+2）=f（-x+2）=f（x-2），
∴f（x）的周期为4，
作出f（x）在（0，10）上的函数图象如图所示：

由图象可知f（x）=-2017在（1，10）上有4个零点，
其中两个关于零点关于直线x=4对称，另两个零点关于直线x=8对称，
∴f（x）=-2017在（1，10）上的所有零点之和为4×2+8×2=24．
故选D．

点评 本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期性与对称性的应用，属于中档题．

练习册系列答案
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