Question

已知函数f（x）=mx+n，当x∈[a₁，b₁]时，值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，值域为[a₃，b₃]，…，当x∈[a_n-1，b_n-1]时，值域为[a_n，b_n]，其中m，n为常数，a₁=0，b₁=1
（1）若m=-1，n=0，求a_n；
（2）若m=3，设数列{a_n}与{b_n]的前n项和分别为S_n和T_n，求T₂₀₁₄-S₂₀₁₄；
（3）若m=2，n=1，求证：

n

2

-

1

3

＜

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

n+1b

＜

n

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）应用函数f（x）=-x在定义域内为减函数，求出a_n+1=-b_n=a_n-1，用分段形式写出a_n；
（2）当m=3，函数f（x）=mx+n在定义域内为增函数，得到b_n-a_n=3（b_n-1-a_n-1），即有b_n-a_n=3^n-1，可求出
T₂₀₁₄-S₂₀₁₄；
（3）当m=2，n=1时，运用构造数列，求出b_n+1=2•2^n-1，
由

bn

bn+1

=

2n

2n+1-1

=

1

2

-

1

2

•

1

2n+1-1

，得到是递增数列，从而

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

bn+1

≥

n

2

-

1

6

＞

n

2

-

1

3

，故结论可证．

解答： （1）解：当m=-1，n=0时，函数f（x）=-x在定义域内为减函数，
∴a_n=-b_n-1，b_n=-a_n-1，∴a_n+1=-b_n=a_n-1，
∵a₁=0，b₁=1，∴a₅=a₃=a₃=a₁，a₆=a₄=a₂
∴a_n=

0，n为奇数 -1，n为偶数

；
（2）解：当m=3，函数f（x）=mx+n在定义域内为增函数，
∴a_n=3a_n-1+n，b_n=3b_n-1+n，∴b_n-a_n=3（b_n-1-a_n-1）
∴{b_n-a_n}是公比为3的等比数列，b_n-a_n=（b₁-a₁）•3^n-1=3^n-1，
∴T₂₀₁₄-S₂₀₁₄=（b₁+b₂+…+b₂₀₁₄）-（a₁+a₂+…+a₂₀₁₄）
=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₂₀₁₄-a₂₀₁₄）
=3⁰+3¹+…+3²⁰¹³=

1-32014

1-3

=

1

2

（3²⁰¹⁴-1）；

（3）证明：当m=2，n=1时，b_n=2b_n-1+1，b_n+1=2（b_n-1+1），b_n+1=2•2^n-1，
∴b_n=2ⁿ-1，
∵

bn

bn+1

=

2n

2n+1-1

=

1 2 (2n+1-1)- 1 2

2n+1-1

=

1

2

-

1

2

•

1

2n+1-1

，
∴

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

bn+1

=

n

2

-

1

2

（

1

3

+

1

7

+

1

15

+…+

1

2n+1-1

）在n∈N^*上是递增，
∴

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

bn+1

≥

n

2

-

1

6

＞

n

2

-

1

3

，
∴

n

2

-

1

3

＜

b1

b2

+

b2

b3

+…+

bn

bn+1

＜

n

2

．

点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，考查函数的单调性和值域，数列的通项和求和，以及数列的单调性，以及运用数列的单调性证明不等式，属于中档题．