Question

已知函数f（x）=lnx+x²，h（x）=x²-2ax-2alnx
（1）若x=1是函数h（x）的极值点，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）-ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若a＞1，h（x）=e^3x-3ae^x，x∈[0，ln2]，求h（x）的极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由h（x）=x²-2ax-2alnx，得h′(x)=2x-2a-

2a

x

=

2x2-2ax-2a

x

(x＞0)，从而h'（1）=2-2a-2a=0，解得a=

1

2

，
（2）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，从而g′（x）=

1

x

+2x-a，由题意，知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤(2x+

1

x

)min．又x＞0，2x+

1

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

2

时等号成立．故(2x+

1

x

)min=2

2

，进而a≤2

2

．
（3）先求出H′（t）=3t²-3a=3（t-

a

）（t+

a

），由H′（t）=0，得t=

a

或t=-

a

（舍去），讨论①若1＜t≤

a

，则H′（t）＜0，H（t）单调递减；h（x）在（0，ln

a

]也单调递减；②若

a

＜t≤2，则H′（t）＞0，H（t）单调递增．h（x）在[ln

a

，ln2]也单调递增；故h（x）的极小值为h（ln

a

）=-2a

a

．

解答： 解：（1）由h（x）=x²-2ax-2alnx，
得h′(x)=2x-2a-

2a

x

=

2x2-2ax-2a

x

(x＞0)，
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h'（1）=2-2a-2a=0，解得a=

1

2

，
经检验x=1为函数h（x）的极值点，
∴a=

1

2

． 
（2）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，
∴g′（x）=

1

x

+2x-a，
由题意，知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤(2x+

1

x

)min．
又x＞0，2x+

1

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

2

时等号成立．
故(2x+

1

x

)min=2

2

，
∴a≤2

2

．
（3）由（2）知，1＜a≤2

2

，
令e^x=t，则t∈[1，2]，则h（x）=H（t）=t³-3at，
∴H′（t）=3t²-3a=3（t-

a

）（t+

a

），
由H′（t）=0，得t=

a

或t=-

a

（舍去），
∵a∈[1，2

2

]，∴

a

∈[1，2

3

4

]，
①若1＜t≤

a

，则H′（t）＜0，H（t）单调递减；h（x）在（0，ln

a

]也单调递减；
②若

a

＜t≤2，则H′（t）＞0，H（t）单调递增．h（x）在[ln

a

，ln2]也单调递增；
故h（x）的极小值为h（ln

a

）=-2a

a

．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，以及求参数的取值范围，本题是一道中档题．