Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），短轴的一个端点B到F的距离等于焦距．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l和椭圆交于两点A，B，且

AF

=2

FB

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知直接得到椭圆的半焦距和椭圆的长半轴，结合隐含条件求得b，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）设过点F的直线l的方程是x=my+1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由

AF

=2

FB

得到A，B两点的纵坐标的关系，结合根与系数关系求得m的值，则直线l的方程可求．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得c=1，a=2c=2，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设直线l的方程是x=my+1，
由

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

，消去x并整理得（4+3m²）y²+6my-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=-

6m

4+3m2

  ①，
y1y2=-

9

4+3m2

  ②，
∵

AF

=2

FB

，得y₁=-2y₂  ③，
由①②③解得m2=

4

5

，m=±

2 5

5

．
因此存在直线l：x=±

2 5

5

y+1，使得

AF

=2

FB

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了向量共线的坐标表示，是压轴题．