Question

已知函数f（x）=-ax²+bx．
（1）若a＞0，b＞0，且不等式f（x）≤1在R上恒成立，求证：b≤2

a

；
（2）若a=-

1

4

，且不等式f（x）≤1在[0，1]上恒成立，求实数b的取值范围；   
（3）设0＜a＜1，b＞0，求不等式|f（x）|≤1在x∈[0，1]上恒成立的充要条件．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得函数的最大值

0-b2

-4a

≤1，化简可得b≤2

a

．
（2）若a=-

1

4

，则f（x）=

1

4

x²+bx，由题意可得

f(0)=0≤1 f(1)= 1 4 +b≤1

，由此求得求得实数b的范围．
（3）由于函数f（x）=-ax²+bx的图象是开口向下的抛物线，图象的对称轴x=

b

2a

＞0，且f（0）=0．故|f（x）|的最大值小于或等于1，在[0，1]上恒成立，分类讨论可得结论．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=-ax²+bx≤1在R上恒成立，∴a＞0，且函数的最大值

0-b2

-4a

≤1，
∴b²≤4a，∴|b|≤2

a

，∴b≤2

a

．
（2）若a=-

1

4

，则f（x）=

1

4

x²+bx，由不等式f（x）≤1在[0，1]上恒成立，则有

f(0)=0≤1 f(1)= 1 4 +b≤1

求得实数b≤

3

4

．
（3）∵0＜a＜1，b＞0，∴函数f（x）=-ax²+bx的图象是开口向下的抛物线，图象的对称轴x=

b

2a

＞0，且f（0）=0．
不等式|f（x）|≤1在x∈[0，1]上恒成立，
当

b

2a

≤1时，由f（

b

2a

）=

b2

4a

≤1，求得0＜b≤2a．
当

b

2a

＞1时，由f（1）=b-a≤1求得 2a＜b≤a+1．
综上可得，0＜b≤2a 或2a＜b≤a+1．

点评：本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．