Question

14．已知抛物线y²=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为2．

Answer 1

分析 设M点到抛物线准线的距离为d，由已知可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则$\frac{4}{1+a}$=$\frac{3}{a}$，解得实数a的值．

解答 解：设M点到抛物线准线的距离为d，
则丨MF丨=d=1+$\frac{p}{2}$=5，则p=8，
所以抛物线方程为y²=16x，M的坐标为（1，4）；
又双曲线的左顶点为A（-a，0），渐近线为y=±$\frac{3}{a}$，
直线AM的斜率k=$\frac{4-0}{1+a}$=$\frac{4}{1+a}$，由$\frac{4}{1+a}$=$\frac{3}{a}$，解得a=3．
∴a的值为3，
故答案为：3．

点评 本题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题．