Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，$AB=AC=\frac{1}{2}A{A_1}$，AB⊥AC，D是棱BB₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面A₁DC⊥平面ADC；
（Ⅱ）求平面A₁DC与平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由侧棱AA₁⊥底面ABC，得AA₁⊥AC，结合AB⊥AC，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面ABB₁A₁，进一步得到AC⊥A₁D，AB=a，通过求解三角形可得AD⊥A₁D，得到A₁D⊥平面ADC．由线面垂直的判定可得平面A₁DC⊥平面ADC；
（Ⅱ）分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=1，求得A，D，C，A₁的坐标，进一步求出平面ABC与平面A₁DC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面A₁DC与平面ABC所成二面角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵侧棱AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AC，
又∵AB⊥AC，AB∩AC=A，∴AC⊥平面ABB₁A₁，
∵A₁D?平面ABB₁A₁，∴AC⊥A₁D，
设AB=a，由$AB=AC=\frac{1}{2}A{A_1}$，AB⊥AC，D是棱BB₁的中点．
得$AD={A_1}D=\sqrt{2}a$，AA₁=2a，
则$A{D^2}+{A_1}{D^2}=2{a^2}$+$2{a}^{2}=4{a}^{2}=A{{A}_{1}}^{2}$，
∴AD⊥A₁D，
∵AD∩AC=A，∴A₁D⊥平面ADC．
又∵A₁D?平面A₁DC，∴平面A₁DC⊥平面ADC；
（Ⅱ）解：如图所示，分别以AB，AC，AA₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设AB=1，则A（0，0，0），D（1，0，1），C（0，1，0），A₁（0，0，2）．
显然$\overrightarrow m=（{0，0，1}）$是平面ABC的一个法向量，
设平面A₁DC的法向量$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}D}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{{A_1}C}=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}x-z=0\\ y-2z=0\end{array}\right.$
令z=1，得平面A₁DC的一个法向量$\overrightarrow n=（{1，2，1}）$，
∴$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}$=$\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
即平面A₁DC与平面ABC所成二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．