Question

7．如图所示，已知二面角α-l-β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到棱l的距离分别为x、y，当θ变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 在平面α内过A作AM⊥l，垂足为M，连结BM，分别在Rt△PAM和Rt△PBM中使用勾股定理计算PM即可得出轨迹方程．

解答 解：在平面α内过A作AM⊥l，垂足为M，连结BM，
∵PA⊥α，AM?α，∴PA⊥AM，
∴PM=$\sqrt{P{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
同理PM=$\sqrt{P{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{25+{y}^{2}}$，
∴16+x²=25+y²，即x²-y²=9，
又x≥0，y≥0，
∴（x，y）的轨迹是双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$在第一象限内的部分．
故选：D．

点评 本题考查了线面垂直的性质，属于基础题．