Question

17．已知数列{a_n}的第一项a₁=1，且a_n+1=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，（n=1，2，3，…），试归纳出这个数列的通项公式（　　）

• A． ${a_n}=\frac{1}{n}$
• B． ${a_n}=\frac{1}{n+1}$
• C． a_n=n
• D． ${a_{n+1}}=\frac{1}{n}$

Answer 1

分析 利用递推关系式可求出a₂，a₃，a₄，…，进而猜想归纳出其通项公式

解答 解：由题意可得：a₁=1，且a_n+1=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，
则a₂=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{4}$
…
∴通过观察归纳出规律：其通项应是一个真分数，分子为1，分母与相应的下标相同，
故a_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*）．
可用数学归纳法或取倒数法加以证明，
故选：A

点评 正确理解递推关系并求出数列的前几项和使用归纳推理是解题的关键