Question

12．已知函数f（x）=e^x+$\frac{ax}{x+1}$-1（a∈R且a为常数）．
（1）当a=-1时，讨论函数f（x）在（-1，+∞）的单调性；
（2）设y=t（x）可求导数，且它的导函数t′（x）仍可求导数，则t′（x）再次求导所得函数称为原函数y=t（x）的二阶函数，记为t′′（x），利用二阶导函数可以判断一个函数的凹凸性．一个二阶可导的函数在区间[a，b]上是凸函数的充要条件是这个函数在（a，b）的二阶导函数非负．
若g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a-$\frac{1}{{2}^{{e}^{4}}}$）x²在（-∞，-1）不是凸函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数g（x）的二阶导数，问题转化为a≥$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，令h（x）=$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
 令f′（x）=0，解得：x=0，
设r（x）=e^x-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，则r′（x）=e^x+$\frac{2}{{（x+1）}^{3}}$，
当x＞-1时，r′（x）＞0，r（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，
故x=0是r（x）在（-1，+∞）内的唯一零点，
即x=0是f′（x）在（-1，+∞）内的唯一零点，
所以当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，即f（x）在（-1，0）上是单调减函数；
当x＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（II）g（x）=（x+1）[f（x）+1]+（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$）x²=（x+1）e^x+（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$）x²+ax，
g′（x）=（x+2）e^x+2（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$）x+a，g″（x）=（x+3）e^x+2（a-$\frac{1}{{2e}^{4}}$），
如果g（x）在（-∞，-1）是凸函数，那么?x∈（-∞，-1）都有g″（x）≥0，
g″（x）≥0⇒a≥$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，
令h（x）=$\frac{1}{{2e}^{4}}$-$\frac{1}{2}$（x+3）e^x，即得h′（x）=-$\frac{1}{2}$（x+4）e^x，
h′（x）=0⇒x=-4，当x＜-4时，h′（x）＞0，当-4＜x＜-1时，h′（x）＜0，
即h（x）在（-∞，-4）单调递增，在（-4，-1）单调递减，所以h（x）≤h（-4）=e^-4，
即a≥e^-4，又g（x）在（-∞，-1）不是凸函数，
所以a∈（-∞，e^-4）．

点评 本题考查了函数的单调性、函数恒成立问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．