Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{7}$，c-b=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理化简可得答案．
（Ⅱ）由a=$\sqrt{7}$，c-b=1，利用余弦定理求解bc的值面积求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
由正弦定理，得：sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA∵0＜B＜π，sinB≠0．
∴sinA=$\sqrt{3}$cosA
即tanA=$\sqrt{3}$．
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由a=$\sqrt{7}$，c-b=1，A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理，cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
得：bc=（c-b）²+2bc-7．
解得：bc=6．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．