Question

18．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-1），$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，若△OAB是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，得到向量垂直和向量模长相等的条件，利用向量数量积的定义进行求解即可．

解答 解：若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
则$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
则（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=0，
即|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{b}$|²=0，
则|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，
又|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|，
即|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，
平方得|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
则|$\overrightarrow{OA}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²=2+2=4，
则|$\overrightarrow{OA}$|=2，
则△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{1}{2}$×2×2=2．
故选：A．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据等腰直角三角形的性质，结合向量垂直和向量相等的关系进行转化求解是解决本题的关键．