Question

15．某大学高等数学这学期分别用A，B两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为60人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：
   

	甲班	乙班	合计
优秀
不优秀
合计

（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”
下面临界值表仅供参考：

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考方式：${k^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d）
（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率．

Answer 1

分析 （1）根据茎叶图，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；
（2）利用列举法求出基本事件，计算所求的概率值．

解答 解：（1）根据茎叶图，填写列联表如下；

	甲班	乙班	合计
优秀	3	10	13
不优秀	17	10	27
合计	20	20	40

计算观测值${k^2}=\frac{{40×{{（{3×10-10×17}）}^2}}}{13×27×20×20}≈5.584＞5.024$，
因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关；
（2）甲班高等数学成绩不得低于80分的6名同学记为A、B、c、d、e、f，
其中A、B为86分的学生；
从6人中随机抽取2人，基本事件是
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，
成绩为86分的同学至少有一个被抽中基本事件是
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共6种，
故所求的概率为$P=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是中档题．