题目内容
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sn有最大值，且$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$＜-1，则Sn取得最小正值时，n=（ ）| A． | 1 | B． | 8 | C． | 15 | D． | 16 |
分析 等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，可得：a1＞0，d＜0．由于$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$＜-1，可得a8（a8+a9）＜0，可得-7d＜a1＜-$\frac{15}{2}$d，再利用前n项和公式即可得出．
解答 解：∵等差数列{an}的前n项和Sn有最大值，
∴a1＞0，d＜0．
∵$\frac{{a}_{9}}{{a}_{8}}$＜-1，
∴a8（a8+a9）＜0，
∴（a1+7d）（2a1+15d）＜0，
∴-7d＜a1＜-$\frac{15}{2}$d，
Sn=na1+$\frac{n（n-1）}{2}$d，
∴S15=15（a1+7d）＞0，
S16=16（a1+$\frac{15}{2}$d）＜0，
∴当Sn取得最小正值时，n=15．
故选：C．
点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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