题目内容
4．设F1，F2是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，点P在双曲线上，已知|PF1|是|PF2|和|F1F2|的等差中项，且∠F1PF2=120°，则该双曲线的离心率为（ ）| A． | 1 | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | $\frac{5}{2}$ | D． | $\frac{7}{2}$ |
分析 由双曲线的定义及等差数列的性质，即可求得m=2c-2a，n=2c-4a，利用余弦定理即可求得关于e的一元二次方程，由e＞1，即可求得该双曲线的离心率．
解答 解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由|PF1|是|PF2|和|F1F2|的等差中项，∠F1PF2=120°，
则点P在C的右支上，
∴m-n=2a，2|PF1|=|PF2|+|F1F2|，即2m=n+2c，
∴m=2c-2a，n=2c-4a，
由余弦定理可知：丨F1F2丨2=|PF1|2+|PF1|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
∴（2c）2=（2c-2a）2+（2c-4a）2-2•（2c-2a）•（2c-4a）cos120°，
整理得2c2-9ac+2c2=0，由e=$\frac{c}{a}$，
∴2e2-9e+7=0，由e＞1，
解得：e=$\frac{7}{2}$，
曲线的离心率为$\frac{7}{2}$，
故选D．
点评 本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线的定义，等差数列的性质，余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2-a2-b2=ab，则角C=（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{3}$ | C． | $\frac{5π}{6}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |
15．若复数$\frac{（1+i）（a-i）}{i}$在复平面内对应的点位于实轴上，则|a-i|=（ ）
| A． | 1 | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
19．已知复数z=$\frac{2+i}{1-2i}$，则$\overline{z}$=（ ）
| A． | i | B． | -i | C． | 1 | D． | -1 |
16．设命题p：?x∈（-∞，0），2x＜x2，则￢p为（ ）
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| C． | ?x∈（-∞，0），2x≥x2 | D． | ?x∈[0，+∞），2x＜x2 |
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