Question

17．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，过点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为N（12，15），则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

Answer 1

分析 方法一：由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB的斜率k=$\frac{15-6}{12-3}$=1，即可求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．
方法二：设A（12+m，15+n），B（12-m，15-n），代入双曲线方程，由直线l的斜率k=$\frac{n}{m}$=$\frac{4{b}^{2}}{5{a}^{2}}$，直线AB的斜率k=$\frac{15-6}{12-3}$=1，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．

解答 解法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由AB的中点为N（12，15），则x₁+x₂=24，y₁+y₂=30，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，两式相减得：$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{{b}^{2}}$，
则$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{a}^{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{4{b}^{2}}{5{a}^{2}}$，
由直线AB的斜率k=$\frac{15-6}{12-3}$=1，
∴$\frac{4{b}^{2}}{5{a}^{2}}$=1，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，
∴双曲线C的离心率为$\frac{3}{2}$，
故选B．
方法二：设A（12+m，15+n），B（12-m，15-n），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（12+m）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{（15+n）^{2}}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{（12-m）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{（15-n）^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，两式相减得：$\frac{4m}{{a}^{2}}$=$\frac{5n}{{b}^{2}}$，
由直线l的斜率k=$\frac{n}{m}$=$\frac{4{b}^{2}}{5{a}^{2}}$，
直线AB的斜率k=$\frac{15-6}{12-3}$=1，
∴$\frac{4{b}^{2}}{5{a}^{2}}$=1，则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{3}{2}$，
∴双曲线C的离心率为$\frac{3}{2}$，
故选B．

点评 本题考查双曲线的离心率公式，考查中点坐标公式，考查点差法的应用，考查直线的斜率，考查计算能力，属于中档题．