Question

14．$\sum_{k=0}^m{C_{n-k}^{n-m}}C_n^k$=（　　）

• A． 2^m+n
• B． $\frac{C_n^m}{2^m}$
• C． ${2^n}C_n^m$
• D． ${2^m}C_n^m$

Answer 1

分析 ${∁}_{n-k}^{n-m}$•${∁}_{n}^{k}$=$\frac{（n-k）!}{（n-m）!（m-k）!}$•$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（n-m）!k!（m-k）!}$=$\frac{n!}{（n-m）!m!}$•$\frac{m!}{（m-k）!k!}$=${∁}_{n}^{m}$•${∁}_{m}^{k}$．，即可得出．

解答 解：∵${∁}_{n-k}^{n-m}$•${∁}_{n}^{k}$=$\frac{（n-k）!}{（n-m）!（m-k）!}$•$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（n-m）!k!（m-k）!}$=$\frac{n!}{（n-m）!m!}$•$\frac{m!}{（m-k）!k!}$=${∁}_{n}^{m}$•${∁}_{m}^{k}$．
∴原式=$\sum_{k=0}^{m}$${∁}_{n}^{m}$•${∁}_{m}^{k}$=${∁}_{n}^{m}$•$\sum_{k=0}^{m}$${∁}_{m}^{k}$=2^m${∁}_{n}^{m}$．
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理的应用、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．