Question

20．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，a_n²=4S_n-1+4n（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求a₂+a₅+a₈+…+a₈₉的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列递推公式可得a_n-a_n-1=2（n≥3），继而得到{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，问题得以解决；
（Ⅱ）根据等差数列的求和公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）因为${a_n}^2=4{S_{n-1}}+4n（n≥2）$，①${a_{n-1}}^2=4{S_{n-2}}+4（n-1）（n≥3）$，②
所以①-②得，${a_n}^2-{a_{n-1}}^2=4{a_{n-1}}+4$，
即${a_n}^2={（{a_{n-1}}+2）^2}$，
因为a_n＞0，所以a_n=a_n-1+2，即a_n-a_n-1=2（n≥3），
又由a₁=2，${a_n}^2=4{S_{n-1}}+4n$，
得${a_2}^2=4{S_1}+8=16$，所以a₂=4，a₂-a₁=2，
所以{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
所以a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n，
所以a₂+a₅+a₈+…+a₈₉=4+10+16+…+178=$\frac{（4+178）×30}{2}=2730$．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，考查数列的求和方法，属于中档题．