Question

14．已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，又a₂•a₃=15，a₁+a₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列b_n=a_n•2ⁿ，数列{b_n}的前n项和记为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a_2}•{a_3}=15\\{a_2}+{a_3}=8\end{array}\right.$，解方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=3\\{a_3}=5\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=5\\{a_3}=3\end{array}\right.$，又d＞0，∴$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=3\\{a_3}=5\end{array}\right.$，
∴d=2，∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）b_n=a_n•2ⁿ=（2n-1）•2ⁿ．
${S_n}=1•{2^1}+3•{2^2}+5•{2^3}+…+（2n-3）•{2^{n-1}}+（2n-1）•{2^n}$，
则$2{S_n}=1•{2^2}+3•{2^3}+5•{2^4}+…+（2n-3）•{2^n}+（2n-1）•{2^{n+1}}$，
两式错位相减得：$-{S_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+2•{2^3}+…+2•{2^n}-（2n-1）•{2^{n+1}}$
=$2+\frac{{8（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}-（2n-1）•{2^{n+1}}$=-6+（3-2n）•2ⁿ⁺¹，
∴${S_n}=6+（2n-3）•{2^{n+1}}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．