Question

19．定义于R上的偶函数f（x）满足对任意的x∈R都有f（x+8）=f（x）+f（4），若当x∈[0，2]时，f（x）=2-x，则f（2017）=1．

Answer 1

分析 利用函数是偶函数，由f（x+8）=f（x）+f（4），可得函数的周期，然后利用周期性进行求值．

解答 解：因为定义在R上的偶函数f（x）满足对任意的x∈R，都有f（x+8）=f（x）+f（4），
所以当x=-4时，f（-4+8）=f（-4）+f（4），即f（4）=2f（4），所以f（4）=0．
所以f（x+8）=f（x）+f（4）=f（x），即函数的周期是8．
当x∈[0，2]时，f（x）=2-x，
所以f（2017）=f（2016+1）=f（1）=2-1=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查函数周期性的性质以及应用，利用函数的奇偶性先得f（4）的值，然后利用根据周期性的定义是解决本题的关键．