Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，过左焦点F₁倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线交椭圆于A、B两点．求弦AB的长．

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，可得：a，b，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．直线AB的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2$\sqrt{2}$），代入椭圆方程可得：4x²+12$\sqrt{2}$x+15=0，利用弦长公式|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{3}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，即可得出．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，可得：a=3，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∴直线AB的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2$\sqrt{2}$），
代入椭圆方程可得：4x²+12$\sqrt{2}$x+15=0，
∴x₁+x₂=-3$\sqrt{2}$，x₁•x₂=$\frac{15}{4}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{1}{3}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{4}{3}[（-3\sqrt{2}）^{2}-4×\frac{15}{4}]}$=2，

点评 本题考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交弦长问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．