Question

1．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-$\sqrt{2}$）²+y²=1相切，则此双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a、b关系，然后求解双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x-$\sqrt{2}$）²+y²=1的圆心（$\sqrt{2}$，0），半径为1，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-$\sqrt{2}$）²+y²=1相切，
可得：$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=1，
可得a²=b²，c=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．