Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（Ⅰ）求椭圆C的长轴和短轴的长，离心率e，左焦点F₁；
（Ⅱ）经过椭圆C的左焦点F₁作直线l，直线l与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的方程可知：$a=\sqrt{2}，b=1$，故c=1，椭圆C的长轴$2a=2\sqrt{2}$，短轴2b=2，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左焦点F₁（-1，0）；
（Ⅱ）设直线l方程y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆$C：\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，可知a²=2，b²=1，则$a=\sqrt{2}，b=1$，故c=1---（2分）
∴椭圆C的长轴$2a=2\sqrt{2}$，短轴2b=2，离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
左焦点F₁（-1，0）．---------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）设直线l方程y=k（x+1），联立方程组：$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，消元得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}$，-----------------------------（8分）
则弦长公式：$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$，---------------------（9分）
∴$\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（-\frac{{4{k^2}}}{{2{k^2}+1}}）}^2}-4（\frac{{2{k^2}-2}}{{2{k^2}+1}}}）=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$
即$\sqrt{{k^2}+1}\frac{{\sqrt{8（{k^2}+1）}}}{{2{k^2}+1}}=\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$
解得：k²=3，$k=±\sqrt{3}$，-----------------------------------（11分）
∴直线l的方程：$y=\sqrt{3}（x+1）$或$y=-\sqrt{3}（x+1）$
即$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$或$\sqrt{3}x+y+\sqrt{3}=0$----------------------（12分）（两个都写对了才给分，否则扣掉1分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．