Question

已知函数f（x）=x³-3a²x²-2ax，x∈[0，1]，且a≥1．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性并予以证明；
（Ⅱ）若函数f（x）的值域为A，且[-4，-3]⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）直接根据函数单调性的定义进行求证即可；
（Ⅱ）结合函数的单调性和集合的包含关系进行求解．

解答： 解：（Ⅰ）设x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）
=x₁³-3a²x₁²-2ax₁-（x₂³-3a²x₂²-2ax₂）
=（x₁-x₂）（x12+x1x2+x22-3a2）＞0，
∴f（x）单调递减．
（Ⅱ）由函数f（x）的值域为：
1-3a²-2a=f（1）≤f（x）≤f（0）=-2a，
结合条件，可以得到1-3a²-2a≤-4≤-3≤-2a，
∴1≤a≤

3

2

，
∴实数a的取值范围[1，

3

2

]．

点评：本题重点考查了函数的单调性的定义、性质、函数的值域求解等知识，属于中档题．