Question

已知圆（x-a）²+（y+1-r）²=r²（r＞0）过点F（0，1），圆心M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设P为直线l：x-y-2=0上的点，过点P做曲线C的两条切线PA、PB，当点P（x₀，y₀）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）先求出a，r的关系，再求出圆心坐标，消去参数，可得轨迹C的方程；
（Ⅱ）求出切线PA，PB的方程，利用切线PA，PB均过P（x₀，y₀），可得A，B的坐标是方程x₀x-2y-2y₀=0的两组解，从而客气直线AB的方程；
（Ⅲ）由抛物线定义可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，表示出|AF|•|BF|，利用配方法可求|AF|•|BF|的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设C（x，y），则
∵圆（x-a）²+（y+1-r）²=r²（r＞0）过点F（0，1），
∴（0-a）²+（1+1-r）²=r²，
∴a=2

r-1

∵x=a，y=r-1，
∴x=2

r-1

，y=r-1，
∴x²=4y；
（Ⅱ）抛物线方程可化为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则切线PA，PB的斜率分别为

1

2

x1，

1

2

x2，
∴PA的方程为y-y1=

x1

2

(x-x1)，即x₁x-2y-2y₁=0．
同理PB的方程为x₂x-2y-2y₂=0，
∵切线PA，PB均过P（x₀，y₀），
∴x₁x₀-2y₀-2y₁=0，x₂x₀-2y₀-2y₂=0
∴（x₁，y₁），（x₂，y₂）为方程x₀x-2y-2y₀=0的两组解，
∴直线AB的方程为x₀x-2y-2y₀=0；
（Ⅲ）由抛物线定义可知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，
∴|AF|•|BF|=（y₁+1）（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1
∵y1+y2=x02-2y0，y1y2=y02，
∴|AF|•|BF|=y02+x02-2y0+1．
∵点P在直线l上，
∴x₀=y₀+2，
∴|AF|•|BF|=y02+x02-2y0+1=2y02+2y0+5=2(y0+

1

2

)2+

9

2

，
∴当y0=-

1

2

时，|AF|•|BF|取得最小值，最小值为

9

2

．

点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的切线方程，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题．