Question

13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，则△ABC外接圆的半径为$\frac{{8\sqrt{15}}}{15}$．

Answer 1

分析 由题意设出钝角三角形的三边长分别为x，x+1，x+2，可得出x+2所对的角为钝角，设为α，利用余弦定理表示出cosα，将设出的三边代入，根据cosα小于0，得出x的范围，在范围中找出整数x的值，确定出三角形的三边长，进而确定出cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，利用正弦定理即可求出三角形ABC外接圆的半径．

解答 解：由题意得：钝角△ABC的三边分别为x，x+1，x+2，且x+2所对的角为钝角α，
∴由余弦定理得：cosα=$\frac{{x}^{2}+（x+1）^{2}-（x+2）^{2}}{2x（x+1）}$=$\frac{x-3}{2x}$＜0，即x＜3，
∴x=1或x=2，
当x=1时，三角形三边分别为1，2，3，不能构成三角形，舍去；
当x=2时，三角形三边长分别为2，3，4，此时cosα=-$\frac{1}{4}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
设△ABC外接圆的半径为R，根据正弦定理得：$\frac{4}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$=2R，
解得：R=$\frac{{8\sqrt{15}}}{15}$．
故答案为：$\frac{{8\sqrt{15}}}{15}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基础题．