Question

4．已知函数f（x）=|x|，g（x）=m-|x-3|．
（1）解关于的不等式g（f（x））+1-m＞0；
（2）已知c＞0，f（a）＜c，f（b）＜c，求证：$\frac{f（a+b）}{f（{c}^{2}+ab）}$＜$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 （1）由g（f（x））+1-m＞0得||x|-3|＜1，即可解不等式；
（2）利用分析法，即可证明结论．

解答 （1）解：由g（f（x））+1-m＞0得||x|-3|＜1，∴-1＜|x|-3＜1，∴2＜|x|＜4，
∴不等式解集为（-4，-2）∪（2，4）．              …（5分）
（2）证明：要证$\frac{f（a+b）}{f（{c}^{2}+ab）}$＜$\frac{1}{c}$，即证$\frac{|a+b|}{|{c}^{2}+ab|}$＜$\frac{1}{c}$，
只需证a²c²+2abc²+b²c²＜c⁴+2abc²+a²b²，
只需证a²c²+b²c²＜c⁴+a²b²，
只需证（a²-c²）（c²-b²）＜0，
又由题意知|a|＜c，|b|＜c，∴a²＜c²，b²＜c²，∴（a²-c²）（c²-b²）＜0成立，
故$\frac{f（a+b）}{f（{c}^{2}+ab）}$＜$\frac{1}{c}$得证．  …（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查分析法证明不等式，属于中档题．