Question

14．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作倾斜角为45°的直线l与双曲线右支交于A、B两点，当a≤|AB|≤4a时，双曲线C的离心率的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{30}}{5}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• B． （1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• C． （1，$\frac{\sqrt{30}}{5}$]
• D． [$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意，直线l的方程为y=x-c，代入双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，整理，求出|AB|，根据a≤|AB|≤4a，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的取值范围．

解答 解：由题意，直线l的方程为y=x-c，
代入双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，整理，可得（b²-a²）x²+2a²cx-a²c²-a²b²=0，
即（c²-2a²）x²+2a²cx-2a²c²+a⁴=0
∴|AB|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{2{a}^{2}c}{2{a}^{2}-{c}^{2}}）^{2}-4•\frac{-2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}-2{a}^{2}}}$，
∵a≤|AB|≤4a
∴a≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{2{a}^{2}c}{2{a}^{2}-{c}^{2}}）^{2}-4•\frac{-2{a}^{2}{c}^{2}+{a}^{4}}{{c}^{2}-2{a}^{2}}}$≤4a，
∴1≤$\frac{16{e}^{4}-32{e}^{2}+16}{（2-{e}^{2}）^{2}}$≤16，
∴$\frac{\sqrt{30}}{5}$≤e≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．