Question

5．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）比较4a_n与S_n的大小．

Answer 1

分析 （1）由n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，结合等比数列的通项公式，即可得到所求通项；
（2）求出4a_n与S_n的，讨论n为奇数和偶数，化简整理，即可得到所求大小关系．

解答 解：（1）由S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+1），可得
n=1时，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$（1+a₁），
解得a₁=1，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n+1）-$\frac{1}{2}$（a_n-1+1），
即有a_n=-a_n-1，
则a_n=a₁q^n-1=（-1）^n-1；
（2）4a_n=4•（-1）^n-1，S_n=$\frac{1}{2}$（1+（-1）^n-1），
当n为奇数时，4a_n=4，S_n=$\frac{1}{2}$×2=1，
即有4a_n＞S_n；
当n为偶数时，4a_n=-4，S_n=$\frac{1}{2}$×0=0，
即有4a_n＜S_n．
综上可得，n为奇数，4a_n＞S_n；
n为偶数时，4a_n＜S_n．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查数列的大小的比较，注意运用讨论的思想，属于中档题．