Question

6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（-c，0），斜率为$\frac{a}{b}$且经过点F的直线l与y²=4cx交于点P，且|OP|=|OF|，O为原点，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{4\sqrt{2}-2}{7}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}+2}{7}$

Answer 1

分析 由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，
据此可求出P点的横坐标，后在Rt△PDF中根据勾股定理建立等式，由此能求出双曲线的离心率．

解答 解：取PF的中点E，则OE⊥PF，
斜率为$\frac{a}{b}$且经过点F的直线l的方程为y=$\frac{a}{b}$（x+c），
即ax-by+ac=0，
∴|OE|=$\frac{ac}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=a，
∴|EF|=b，
∴|PF|=2b，
又∵O为FF′的中点，
∴PF′∥EO，
∴|PF′|=2a，
∵抛物线方程为y²=4cx，
∴抛物线的焦点坐标为（c，0），
即抛物线和双曲线右支焦点相同，
过F点作x轴的垂线l，过P点作PD⊥l，则l为抛物线的准线，
∴PD=PF′=2a，
∴P点横坐标为2a-c，设P（x，y），
在Rt△PDF中，PD²+DF²=PF²，即4a²+y²=4b²，4a²+4c（2a-c）=4（c²-b²），
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，同时考查抛物线的定义及性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．