Question

8．AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点．
（1）试判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；
（2）若已知AB=VC=2，0＜BC＜1，求二面角C-VB-A的余弦值的范围．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥面VBC，DE∥AC，由此能证明DE⊥面VBC．
（2）以点C为原点，CA、CB、CV分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-VB-A余弦值的范围．

解答 证明：（1）∵AC⊥BC，VC⊥AC，
∴AC⊥面VBC，
∵D、E分别为VC、VA中点，
∴DE∥AC，
∴DE⊥面VBC…（5分）
解：（2）以点C为原点，CA、CB、CV分别为x、y、z轴，建立如图所示坐标系，
设BC=b，CA=a，则a²+b²=4，0＜b＜1．
则点A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，0），V（0，-b，2），
由（1）知面VBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设面VCA的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BA}$=0，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BV}=0$，
$\overrightarrow{BA}$=（a，-b，0），$\overrightarrow{BV}$=（0，-2b，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{ax-by=0}\\{-2by+2z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则$\overrightarrow{m}$=（$\frac{b}{a}$，1，$\frac{b}{2}$），…（8分）
设二面角C-VB-A大小为θ，
则$cosθ=\frac{{\frac{b}{a}}}{{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}+1+\frac{b^2}{4}}=\frac{b}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}+\frac{{{a^2}{b^2}}}{4}}}}}}$，
∵a²+b²=4，∴$cosθ=\frac{b}{{\sqrt{4+\frac{{{a^2}{b^2}}}{4}}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{4}{b^2}+\frac{a^2}{4}}}}=\frac{1}{{\sqrt{\frac{4}{b^2}-\frac{b^2}{4}+1}}}$，
又因为0＜b＜1，所以$0＜cosθ＜\frac{2}{{\sqrt{19}}}$
∴二面角C-VB-A余弦值的范围为：$（{0，\frac{2}{{\sqrt{19}}}}）$．…（12分）

点评 本题考查二面角的余弦值的范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．