Question

18．设函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R．
（I）当m=1时，求f（x）的极小值；
（Ⅱ）当0＜m＜$\frac{2}{3}$时，判断函数g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$零点的个数；
（Ⅲ）若h（x）=f（x）-x在（0，+∞）上单凋递减，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，利用f′（x）判定f（x）的增减性并求出f（x）的极小值；
（Ⅱ）由函数g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$，令g（x）=0，求出m；设φ（x）=m，求出φ（x）的值域，讨论m的取值，对应g（x）的零点情况；
（Ⅲ）求出h（x）的导数，问题转化为m≥x-x²在（0，+∞）恒成立，根据二次函数的性质求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$；
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是减函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
∴x=1时，f（x）取得极小值为f（1）=ln1+1=1；
（Ⅱ）∵函数g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{{x}^{2}}$-$\frac{x}{3}$（x＞0），
令g（x）=0，得m=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0）；
设φ（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0），
∴φ′（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）；
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴x=1是φ（x）的极值点，且是极大值点，
∴x=1是φ（x）的最大值点，
∴φ（x）的最大值为φ（1）=$\frac{2}{3}$；
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象，如图；
当0＜m＜$\frac{2}{3}$时，函数g（x）有两个零点；
（Ⅲ）h（x）=lnx+$\frac{m}{x}$-x，（x＞0），
h′（x）=$\frac{x-m{-x}^{2}}{{x}^{2}}$，
若h（x）在（0，+∞）上单调递减，
则x-m-x²≤0在（0，+∞）恒成立，
即m≥x-x²在（0，+∞）恒成立，
而y=x-x²在（0，+∞）的最大值是$\frac{1}{4}$，
∴m≥$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了导数的综合应用问题，解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和最值，应用分类讨论法，构造函数等方法来解答问题．