Question

16．已知函数f（x）是R上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是减函数，令a=f（sin$\frac{2}{7}$π），b=f（cos$\frac{5}{7}$π），c=f（tan$\frac{5}{7}$π），则（　　）

• A． b＜a＜c
• B． c＜b＜a
• C． b＜c＜a
• D． a＜b＜c

Answer 1

分析 由题意和诱导公式化简cos$\frac{5}{7}$π、tan$\frac{5}{7}$π，根据偶函数的性质化简b、c，由三角函数的性质判断出tan$\frac{2}{7}π$、
sin$\frac{2}{7}π$、cos$\frac{2}{7}π$三者的大小关系，由偶函数的单调性和条件判断出f（x）在区间[0，+∞）上单调性，利用单调性可得答案．

解答 解：由$\frac{5}{7}π=π-\frac{2}{7}π$得，cos$\frac{5}{7}$π=-cos$\frac{2}{7}π$，tan$\frac{5}{7}$π=-tan$\frac{2}{7}π$，
∵函数f（x）是R上的偶函数，
∴b=f（cos$\frac{5}{7}$π）=f（cos$\frac{2}{7}π$），c=f（tan$\frac{5}{7}$π）=f（tan$\frac{2}{7}π$），
∵$\frac{2}{7}π＞\frac{π}{4}$，∴tan$\frac{2}{7}π$＞sin$\frac{2}{7}π$＞cos$\frac{2}{7}π$，
∵偶函数f（x）在区间（-∞，0]上是减函数，∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数，
则f（tan$\frac{2}{7}π$）＞f（sin$\frac{2}{7}π$）＞f（cos$\frac{2}{7}π$），即c＞a＞b，
故选A．

点评 本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，以及诱导公式、三角函数的性质，解题的关键是利用函数对称性、奇偶性自变量调整到同一单调区间内，再比较大小，考查数形结合思想．