Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，sin4x），$\overrightarrow{b}$=（cos4x，1），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的最小正周期及最大值；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）作f（x）在一个周期的图象．

Answer 1

分析 （1）利用向量坐标运算，求出f（x）的表达式并化简，利用T=$\frac{2π}{ω}$求出T，再由函数单调性求出最大值；
（2）利用正弦型函数单调性，整体代入求出其单调递增区间；
（3）画出其一个周期函数图象．

解答 解：（1）由题意得：
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos4x+$\frac{1}{2}$sin4x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
所以T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，
f（x）_max=2；
（2）因为当$-\frac{π}{2}+2kπ≤$4x+$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$（k∈Z）即$-\frac{5π}{24}+\frac{kπ}{2}≤x≤\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}$（k∈Z）时，y=f（x）单调增，
所以函数的递增区间为[$-\frac{5π}{24}+\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{24}+\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）；
（3）函数图象如下：

点评 （1）本题主要考察向量坐标运算和辅助角公式，难度中档；（2）本题解题关键是利用整体代入求出x的取值范围，属于三角函数常见题型．