Question

已知函数y=f（x）的定义域为[-1，1]，且f（-x）=-f（x），f（1）=1，当a，b∈[-1，1]且a+b≠0，时

f(a)+f(b)

a+b

＞0恒成立．
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性；
（2）解不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)；
（3）若f（x）＜m²-2am+1对于所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数函数单调性的定义判断函数单调性即可；
（2）利用（1）的结论，由f（x）在[-1，1]上是单调增函数，且f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)得-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1，解不等式即可；
（3）由f（x）＜m²-2am+1对于所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，可得f（x）_max=1＜m²-2am+1，a∈[-1，1]恒成立，令g（a）=m²-2am=-2ma+m²，要使g（a）＞0在a∈[-1，1]恒成立，则必须

g(-1)＞0 g(1)＞0

，解得即可．

解答： 解：（1）∵当a，b∈[-1，1]且a+b≠0，时

f(a)+f(b)

a+b

＞0恒成立，
∴

f(a)+f(-b)

a+(-b)

＞0，∴

f(a)-f(b)

a-b

＞0，…（2分）
∴a＜b时，∴f（a）＜f（b），a＞b时，∴f（a）＞f（b）…（4分）
∴f（x）在[-1，1]上是单调增函数     …（5分）
（2）∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，且f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)
∴-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1，…（7分）
解得 -

3

2

 ≤x＜ -1…（8分）
故所求不等式的解集 [-

3

2

 ， -1)…（9分）
（3）∵f（x）在[-1，1]上是单调增函数，f（1）=1，
∴f（x）_max=1，…（10分）
若f（x）＜m²-2am+1对于所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
则1＜m²-2am+1，a∈[-1，1]恒成立，…（11分）
即m²-2am＞0，a∈[-1，1]恒成立，
令g（a）=m²-2am=-2ma+m²，
要使g（a）＞0在a∈[-1，1]恒成立，
则必须

g(-1)＞0 g(1)＞0

，解得m＜-2，或m＞2…（13分）
则m的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）…（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值的知识，以及恒成立问题的等价转化，逻辑性较强，属难题．