Question

若椭圆

x2

m

+

y2

p

=1与双曲线

x2

n

-

y2

p

=1（m，n，p＞0，m≠p）有公共的焦点F₁，F₂，其交点为Q，则△QF₁F₂的面积是（　　）

• A、m+n
• B、

  m+n

  2

• C、p
• D、

  p

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆、双曲线的定义得到 |QF1|=

m

+

n

，|QF1|-|QF|=2

n

，由余弦定理得到cosθ=0，得到sinθ=1，利用三角形的面积公式求出△QF₁F₂的面积．

解答： 解：∵|QF1|+|QF|=2

m

，|QF1|-|QF|=2

n

∴|QF1|=

m

+

n

，|QF2|=

m

-

n

，
又m-p=n+p，
∴m-n=2p，
设∠F₁QF₂=θ
则cosθ=

|QF1|2+|QF2|2-|F1F2|2

2|QF1||Q F2|

=

2m+2n-4c2

2(m-n)

=

m+n-2(m-p)

m-n

=0
∴sinθ=1
∴△QF₁F₂的面积是=

1

2

|QF1||QF2|sinθ=

1

2

(m-n)=p
故选：C．

点评：本题考查三角形面积的表示，解题时要认真审题，注意双曲线和椭圆的简单性质的灵活运用．