题目内容
求证：lnx＜x＜ex时，x＞0．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：构造函数，分别设设f（x）=lnx-x；g（x）=x-ex，分别求导，求出函数的最大值与0的关系，即可证明
解答：
证：设f（x）=lnx-x；
∴f′（x）=
-1=
，
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＞0时，即x＞1时，函数f（x）单调递减，
故当x=1时函数有最大值，f（x）max=f（1）=-1，
故f（x）=lnx-x＜0；
∴lnx＜x；
令g（x）=x-ex，
g′（x）=1-ex，
∵x＞0，
∴g′（x）＜0；
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜1-e＜0；
∴x＜ex，
∴lnx＜x＜ex，
∴f′（x）=
| 1 |
| x |
| 1-x |
| x |
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＞0时，即x＞1时，函数f（x）单调递减，
故当x=1时函数有最大值，f（x）max=f（1）=-1，
故f（x）=lnx-x＜0；
∴lnx＜x；
令g（x）=x-ex，
g′（x）=1-ex，
∵x＞0，
∴g′（x）＜0；
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜1-e＜0；
∴x＜ex，
∴lnx＜x＜ex，
点评：本题考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及通过求导，利用函数单调性证明不等式的方法．
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