Question

2．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC₁的中点，则DE与面BCC₁B₁所成角的正切值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空直角坐标系，利用向量法能求出DE与面BCC₁B₁所成角的正切值．

解答 解：设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，
以DD₁为z轴，建立空直角坐标系，
∵E为BC₁的中点，
∴D（0，0，0），E（1，2，1），
∴$\overrightarrow{DE}$=（1，2，1），
设DE与面BCC₁B₁所成角的平面角为θ，
∵面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{2}{\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanθ=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．