Question

10．已知：f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1时有极值0．
（1）求：常数a、b的值；
（2）求：f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）已知函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=1处有极值0，即f（-1）=0，f′（-1）=0，通过求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值；
（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间．

解答 解：（1）∵f′（x）=3x²+6ax+b，（a＞1），
函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1处有极值0，
∴f（-1）=0，f′（-1）=0，
∴-1+3a-b+a²=0，3-6a+b=0，
解得a=2，b=9．
（2）f（x）=x³+6x²+9x+4，
∴f′（x）=3x²+12x+9，
∴由f′（x）=3x²+12x+9＞0得x∈（-∞，-3）或（-1，+∞），
由f′（x）=3x²+12x+9＜0得x∈（-3，-1），
∴函数f（x）的单调增区间为：（-∞，-3），（-1，+∞），减区间为：（-3，-1）．

点评 本题考查导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，属于中档题．