Question

12．已知函数f（x）=x²-2x+alnx有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，则（　　）

• A． $f（{x_1}）＜\frac{3+2ln2}{4}$
• B． $f（{x_1}）＜-\frac{1+2ln2}{4}$
• C． $f（{x_1}）＞\frac{1+2ln2}{4}$
• D． $f（{x_1}）＞-\frac{3+2ln2}{4}$

Answer 1

分析 对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，由判别式以及根与系数的关系求出a的取值范围；由x₁、x₂的关系，用x₁把a表示出来，求出f（x₁）的表达式最小值即可．

解答 解：由题意，f（x）=x²-2x+alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x+a}{x}$；
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，解得a＜$\frac{1}{2}$，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=$\frac{a}{2}$＞0
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，
∵0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1
∴0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，a=2x₁-2${{x}_{1}}^{2}$，
∴f（x₁）=x²-2x₁+（2x₁-2${{x}_{1}}^{2}$）lnx₁．
令g（t）=t²-2t+（2t-2t²）lnt，其中0＜t＜$\frac{1}{2}$，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（0，$\frac{1}{2}$）时，g′（t）＜0，
∴g（t）在（0，$\frac{1}{2}$）上是减函数．
∴g（t）＞g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{3+2ln2}{4}$，
故f（x₁）=g（x₁）＞-$\frac{3+2ln2}{4}$，
故选：D．

点评 本题考查了利用函数的性质求参数取值与利用导数求取值范围的问题，是容易出错的题目．