Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，若该双曲线上存在点P，满足以双曲线虚轴为直径的圆与线段PF相切与线段PF的中点，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设PF的中点为M，双曲线的右焦点为F′（c，0），连结OM、PF′（O为坐标原点），则|PF′|=2|OM|=2b且PF⊥PF′，可得PF，利用勾股定理，求出b=2a，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：由题意可知点P在双曲线的左支上且b＞a，
设PF的中点为M，双曲线的右焦点为F′（c，0），连结OM、PF′（O为坐标原点），
则|PF′|=2|OM|=2b且PF⊥PF′，
∴PF=PF′-2a=2b-2a，|PF|²+|PF′|²=|FF′|²，即（2b-2a）²+（2b）²=（2c）²，得b=2a，
则该双曲线的离心率e=

a2+4a2

a

=

5

．
故答案为：

5

．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．