题目内容
某工厂随机抽取处12件A型产品和18件B型产品，将这30件产品的尺寸编成如图所示的茎叶图（单位：cm），若尺寸在175cm以上（包括175cm）的产品定义为“标准件”，尺寸在175cm以下（不包括175cm）的产品定义为“非标准件”（1）如果用分层抽样的方法从这30件“标准件”和“非标准件”中选取5件，再从这5件中选取2件，那么至少有一件是“标准件”的概率是多少？
（2）若从所有“标准件”中每次随机抽取1件，取后不放回，抽到“A型标准件”就结束，且抽取次数不能超过3次，用X表示抽取结束时抽到“B型标准件”的个数，试写出X的分布列，并求出X的数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图,古典概型及其概率计算公式
专题：应用题,概率与统计
分析：（1）按分层抽样抽取5件，这5件中，“标准件”的个数为5×
=2，“非标准件”的个数为5×
=3，利用对立事件的概率公式，可求至少有一件是“标准件”的概率；
（2）X可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可计算出X的分布列及数学期望．
| 12 |
| 30 |
| 18 |
| 30 |
（2）X可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可计算出X的分布列及数学期望．
解答：
解：（1）读取茎叶图中数据，“标准件”的个数为12，“非标准件”的个数为18
按分层抽样抽取5件，这5件中，“标准件”的个数为5×
=2，“非标准件”的个数为5×
=3
设事件A=“从2件标准件和3件非标准件中选2件，至少有一件是标准件”
则P（A）=1-P（
）=1-
=
答：至少有一件是“标准件”的概率是
…（4分）
（2）易知X可能取值为0，1，2，3．事件“X=0”=“A”；“X=1”=“BA”；“X=2”=“BBA”；“X=3”=“BBB”（没抽到A，也需强制性结束）
P（X=0）=
=
；P（X=1）=
=
；P（X=2）=
=
； P（X=3）=
=
故X的分布列如下…（10分）
∴数学期望E（X）=0×
+1×
+2×
+3×
=
…（12分）
按分层抽样抽取5件，这5件中，“标准件”的个数为5×
| 12 |
| 30 |
| 18 |
| 30 |
设事件A=“从2件标准件和3件非标准件中选2件，至少有一件是标准件”
则P（A）=1-P（
. |
| A |
| ||
|
| 7 |
| 10 |
答：至少有一件是“标准件”的概率是
| 7 |
| 10 |
（2）易知X可能取值为0，1，2，3．事件“X=0”=“A”；“X=1”=“BA”；“X=2”=“BBA”；“X=3”=“BBB”（没抽到A，也需强制性结束）
P（X=0）=
| ||||
|
| 2 |
| 3 |
| ||||
|
| 8 |
| 33 |
| ||||
|
| 4 |
| 55 |
| ||||
|
| 1 |
| 55 |
故X的分布列如下…（10分）
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 2 |
| 3 |
| 8 |
| 33 |
| 4 |
| 55 |
| 1 |
| 55 |
| 73 |
| 165 |
点评：本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识．
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