Question

某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A、B、C、D、E五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B的考生有10人．
（Ⅰ）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A的人数；
（Ⅱ）已知等级A、B、C、D、E分别对应5分，4分，3分，2分，1分．
（i）求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分；
（ii）求该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分，从这10人中随机抽取2人，求2人成绩之和的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,收集数据的方法

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由“语言表达能力”成绩等级为B的考生有10人，频率为0.25，可求考场中的人数，然后结合其频率可求；
（Ⅱ）（i）结合频率分布直方图可求该考场考生“竞争与团队意识”科目的平均分；
（ii）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20，然后求出ξ去每个值对应的概率，即可求解出ξ的分布列及ξ的数学期望；

解答： 解：（Ⅰ）因为“语言表达能力”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人…（1分）
所以该考场考生中“竞争与团队意识”科目中成绩等级为A的人数为40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=3…（3分）
（Ⅱ）（i）该考场考生“语言表达能力”科目的平均分为

40(1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075)

40

=2.9（7分）
（ii）设两人成绩之和为ξ，则ξ的值可以为16，17，18，19，20…（8分）
P（ξ=16）=

C 2 6

C 2 10

=

1

3

，P（ξ=17）=

C 1 2 C 1 6

C 2 10

=

4

15

，P（ξ=18）=

C 1 6 C 1 2 + C 2 2

C 2 10

=

13

45

，
P（ξ=19）=

C 1 2 C 1 2

C 2 10

=

4

45

，P（ξ=20）=

C 2 2

C 2 10

=

1

45

．
所以ξ的分布列为

X	16	17	18	19	20
P	1 3	4 15	13 45	4 45	1 45

…（11分）
所以Eξ=16×

1

3

+17×

4

15

+18×

13

45

+19×

4

45

+20×

1

45

=

86

5

所以ξ的数学期望为

86

5

…（13分）

点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望值的求解，解题的关键是熟练掌握基本公式的应用．