Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），已知|x|≤1时，|f（x）|≤1，证明：|x|≤2时，|f（x）|≤7．

Answer 1

考点：不等式的证明,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,不等式

分析：函数的图象开口可能向上或者向下，不论本题是那种情况，都有区间两端点的函数值小于等于1，|f（0）|≤1，在这些条件下，用不等式的基本性质结合放缩法证明．

解答： 证明：由已知条件知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
定义域为[-1，1]
∴|c|≤1，|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1；
∵|f（2）|=|4a+2b+c|=|3（a+b+c）+（a-b+c）-3c|≤|=|3（a+b+c）|+|（a-b+c）|+|-3c|≤3+1+3=7
∴|f（2）|≤7

点评：本考点考查二函数的最值及其几何意义，不等式的性质，以及不等式证明时常用的技巧放缩法的技巧