Question

已知函数f（x）=3^x，f（a+2）=27，g（x）=λ•2^ax-4^x的定义域是[0，1]
（1）求a的值；
（2）若函数g（x）的最大值为

1

2

，求实数λ的值；
（3）若函数g（x）在[0，1]是单调减函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）由条件可得3^a+2=27，可得a=1；
（2）g（x）=λ•2^x-4^x，设2^x=t，由于0≤x≤1，则1≤t≤2，y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，1≤t≤2，讨论λ＜2时，2≤λ≤4时，λ＞4函数的最大值，即可得到；
（3）运用函数的单调性的定义，任取0≤x₁＜x₂≤1，△x=x₂-x₁，即有△y=（λ•2^x₂-4^x₂）-（λ•2^x₁-4^x₁）＜0在[0，1]恒成立，由于2^x₂-2^x₁＞0，则λ-2^x₁-2^x₂＜0在[0，1]恒成立，参数分离，即可得到范围．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=3^x，f（a+2）=27，
则3^a+2=27，即a+2=3，即有a=1；
（2）g（x）=λ•2^x-4^x，设2^x=t，由于0≤x≤1，则1≤t≤2，
y=-t²+λt=-（t-

λ

2

）²+

λ2

4

，1≤t≤2，
当

λ

2

＜1即λ＜2时，y_max=λ-1=

1

2

，即有λ=

3

2

；
当1≤

λ

2

≤2即2≤λ≤4时，y_max=

λ2

4

=

1

2

，即λ=±

2

不成立；
当

λ

2

＞2即λ＞4时，y_max=2λ-4=

1

2

，即有λ=

9

4

不成立．
故λ=

3

2

．
（3）由（1）知，g（x）=λ•2^x-4^x，
任取0≤x₁＜x₂≤1，△x=x₂-x₁，
由于函数g（x）在[0，1]是单调减函数，
则△y=y₂-y₁＜0，
即有△y=（λ•2^x₂-4^x₂）-（λ•2^x₁-4^x₁）
=（2^x₂-2^x₁）（λ-2^x₁-2^x₂）＜0在[0，1]恒成立，
由于2^x₂-2^x₁＞0，则λ-2^x₁-2^x₂＜0在[0，1]恒成立，
即λ＜2^x₁+2^x₂在[0，1]恒成立，
由于2^x₁+2^x₂在＞2，则λ≤2，
故实数λ的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查指数函数的单调性和运用，考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查运算能力和分类讨论的思想方法，属于中档题．