Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．数列{b_n}中，b₁=1，bn=abn-1（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：①b_n+1＞2b_n；②

1

b1

+

1

b2

+

1

b3

+…+

1

bn

＜2-

1

bn

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）由n=1时，a₁=S₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得到{a_n}的通项公式；
（2）求出n≥2时，b_n=2b_n-1+1．构造{b_n+1}，得到是以2为首项，2为公比的等比数列，即可得到
{b_n}的通项公式；
（3）①作差b_n+1-2b_n分解因式，即可得证；②由b_n+1＞2b_n得

1

bn+1

＜

1

2bn

设S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，由放缩法即可得证．

解答： （1）解：n=1时，a₁=S₁=3，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+2n）-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
且n=1时也适合此式，故数列{a_n}的通项公式是a_n=2n+1；    
（2）解：依题意，n≥2时，bn=abn-1=2b_n-1+1．
∴b_n+1=2（b_n-1+1），又b₁+1=2，
∴{b_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
b_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
即b_n=2ⁿ-1，n=1满足．
∴b_n=2ⁿ-1；                                 
（3）证明：①b_n+1-2b_n=（2ⁿ⁺¹-1）-2（2ⁿ-1）=1＞0
则有b_n+1＞2b_n对一切自然数n都成立；               
②由b_n+1＞2b_n得

1

bn+1

＜

1

2bn

设S=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，
则S＜

1

b1

+

1

2b1

+

1

2b3

+…+

1

2bn-1

=

1

b1

+

1

2

（S-

1

2bn

）
则有S＜

2

b1

-

1

bn

=2-

1

bn

．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项的求法，考查构造数列的思想方法，以及放缩法证明不等式的方法，考查运算能力，属于中档题．