Question

已知函数f（x）是R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称．当x∈[-1，1]时，f（x）=x，求当x∈[-3，-1]时，f（x）的解析式和f（-4.5）的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题利用函数的奇偶性、对称性将区间[-3，-1]上的函数转化为[-1，1]的函数，再利用已知条件求出f（x）在[-3，-1]上的解析式，利用函数的奇偶性、对称性将f（-4.5）转化为[-1，1]上的函数值，再利用已知条件求出f（-4.5）的值，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
∵f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴f（1+x）=f（1-x）．
当x∈[-3，-1]时，2+x∈[-1，1]，
f（x）=-f（-x）=-f[1+（-1-x）]=-f[1-（-1-x）]=-f（2+x）=-（2+x）=-x-2．
∴当x∈[-3，-1]时，f（x）的解析式为f（x）=-x-2．
∴f（-4.5）=-f（4.5）=-f（1+3.5）=-f（1-3.5）=-f（-2.5）=f（2.5）=f（1+1.5）=f（1-1.5）=f（-0.5）=-0.5．
∴f（-4.5）=-0.5．

点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性和解析式，本题计算量适中，有一定的思维难度，属于中档题．